Как строить МДНФ по карте Карно

Метод Диаграмм Накопленного Произведения, или МДНФ, является одним из основных инструментов при анализе логических функций. Он позволяет упростить булеву функцию и представить ее в виде минимизированного набора конъюнкций.

Один из способов построения МДНФ заключается в использовании карты Карно, названной в честь своего создателя Мориса Карно. Карта Карно представляет собой прямоугольную таблицу, в которой каждой комбинации значений переменных соответствует ячейка, а значения булевой функции указываются в каждой ячейке.

Построение МДНФ по карте Карно начинается с выделения максимальных прямоугольников внутри карты, в которых булева функция принимает значение 1. Каждый прямоугольник соответствует одной конъюнкции в МДНФ. Затем необходимо определить все переменные внутри каждого прямоугольника и определить их значения (0 или 1), если они фиксированы. Таким образом можно построить МДНФ, представляющую все комбинации, при которых булева функция равна 1.

Описание карты Карно

Карта Карно используется для визуализации и анализа логических функций. Она позволяет обнаружить закономерности в значениях функции и упростить ее выражение. Заполняя ячейки таблицы в соответствии с результатами функции, можно выделить группы ячеек с одинаковыми значениями. Эти группы могут представлять собой совокупность переменных (минтермы) или их отрицаний (махтермы).

По наличию единиц в ячейках карты Карно можно построить минимальное дизъюнктивное нормальное форму (МДНФ) функции. Для этого объединяются ячейки с единицами в группы таким образом, чтобы каждая группа содержала число ячеек, равное степени двойки (1, 2, 4, 8 и т.д.). Затем для каждой группы строится логическое выражение, которое включает все значения переменных, принимающиеся в этой группе.

Алгоритм построения МДНФ

Для построения минимальной дизъюнктивной нормальной формы (МДНФ) по карте Карно необходимо выполнить следующие шаги:

  1. Построить карту Карно, выделив на ней клетки в соответствии с заданными значениеми функции.
  2. Сгруппировать соседние клетки, содержащие единицы, в прямоугольники или криволинейные фигуры, таким образом, чтобы каждая группа содержала степени двойки клеток (1, 2, 4, 8 и т.д.).
  3. Для каждой группы клеток записать соответствующее ей логическое выражение и упростить его, используя основные законы логики (законы Де Моргана, коммутативность, ассоциативность и т.д.).
  4. Сложить все полученные упрощенные выражения, получив МДНФ для заданной функции.
  5. Проверить полученную МДНФ на минимальность и в случае необходимости применить методы минимизации, такие как метод Туринга или метод Квайна-МакКласки.

Таким образом, выполнив данный алгоритм, можно построить МДНФ для любой булевой функции, заданной на карте Карно. Использование МДНФ позволяет упростить выражение функции и улучшить ее алгоритмическую эффективность.

Подготовка таблицы истинности

Перед построением МДНФ по карте Карно необходимо подготовить таблицу истинности, которая представляет собой все возможные комбинации значений входных переменных и соответствующие им значения функции.

Для этого необходимо знать количество входных переменных и выходных значений функции, а также определить их наименования. Затем следует создать таблицу с помощью тега <table> в HTML.

В первом ряду таблицы указываются наименования входных переменных, а в последней колонке — значения функции. Остальные ячейки заполняются путем перебора всех возможных комбинаций значений входных переменных. Начиная со значений входных переменных, приведенных в первой строке, по мере заполнения таблицы изменяются значения этих переменных.

Таким образом, после заполнения всех ячеек таблицы истинности, можно приступить к построению карты Карно и дальнейшему построению МДНФ.

Входные переменныеВыходные значения
01

Разбиение карты на максимальные прямоугольники

Для построения МДНФ по карте Карно необходимо разбить карту на максимальные прямоугольники. Это поможет нам выделить группы одинаковых ячеек, которые затем будут соответствовать условиям и переменным в МДНФ.

Максимальный прямоугольник в контексте карты Карно — это такой прямоугольник, который содержит максимальное количество «1» и не содержит ни одного «0». Разбиение карты на максимальные прямоугольники осуществляется следующим образом:

  1. Начинаем со всей карты и обводим в прямоугольник первую группу «1».
  2. Выделяем следующие группы «1» в новые прямоугольники, сдвигаясь последовательно влево или вправо.
  3. Повторяем шаг 2, пока не обведем все группы «1» на карте.

В результате мы получаем несколько максимальных прямоугольников, каждый из которых представляет группу одинаковых ячеек на карте Карно.

Разбиение карты на максимальные прямоугольники является важным этапом построения МДНФ, так как позволяет эффективно группировать условия и переменные, упрощая последующий анализ и составление логического выражения.

Запись МДНФ из прямоугольников

Для построения минимальной дизъюнктивной нормальной формы (МДНФ) по карте Карно необходимо определить прямоугольники, которые полностью покрывают области единиц (условные 1) на карте. Каждый прямоугольник будет представлять одно слагаемое МДНФ.

Этапы записи МДНФ из прямоугольников:

  1. Определите все прямоугольники, которые полностью покрывают области единиц на карте Карно. Каждый прямоугольник должен быть прямоугольным фрагментом карты и должен содержать только условные 1.
  2. Для каждого прямоугольника подсчитайте, сколько переменных присутствует в каждом столбце и каждой строке прямоугольника и запишите их в соответствующие скобки. Например, прямоугольник, содержащий две переменные в первом столбце и одну переменную во втором столбце, будет записан как (A, B, C).
  3. Составьте дизъюнкцию (сложение) всех прямоугольников, используя переменные и их отрицания.
  4. Полученная дизъюнкция будет являться МДНФ (минимальной дизъюнктивной нормальной формой) и представляет собой логическое выражение, которое истинно только для тех комбинаций переменных, в которых на карте Карно были единицы.

Таким образом, запись МДНФ из прямоугольников позволяет компактно представить логическую функцию в виде минимального числа слагаемых, что упрощает её анализ и оптимизацию.

Пример построения МДНФ по карте Карно

Для наглядного примера построим МДНФ (минимальную дизъюнктивную нормальную форму) по карте Карно для логической функции F(A, B, C).

A\BC00011110
01011
10110

Чтобы построить МДНФ, сначала следует выделить на карте Карно все прямоугольники, в которых входная функция принимает значение 1. В данном примере имеются 3 прямоугольника:

  1. [0, 3], т.е. прямоугольник, в котором A принимает значение 0, а B и C принимают любые значения
  2. [5, 6, 7], т.е. прямоугольник, в котором B и C принимают значение 1, а A принимает любое значение
  3. [1], т.е. прямоугольник, в котором A и B принимают значение 1, а C принимает значение 0

Затем каждый прямоугольник преобразуется в элемент МДНФ. Преобразование производится путем записи значений переменных в квадратных скобках в виде AB’C, где символ «‘» обозначает отрицание переменной (0, если переменная принимает значение 1, и наоборот). Получается следующая МДНФ:

F(A, B, C) = AB’C + B’C’ + AC

Таким образом, мы построили МДНФ по карте Карно для логической функции F(A, B, C).

Оцените статью